3. Докажите, что числа: а) 135 и 315 не взаимно простые; б) 315 и 103 взаимно простые.

а) Разложим числа на простые множители: \(135=3^3\cdot5\), \(315=3^2\cdot5\cdot7\). Их общий делитель равен \(3^2\cdot5=45>1\). Значит, числа 135 и 315 не взаимно простые.

б) Имеем \(315=3^2\cdot5\cdot7\). Число 103 простое: оно не делится на простые числа 2, 3, 5 и 7, меньшие его квадратного корня. Следовательно, у 315 и 103 нет общих простых делителей, поэтому их НОД равен 1.

Ответ: а) числа не взаимно простые; б) числа взаимно простые.