3. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm1$ значение выражения $(b-1)^2\left(\frac1{b^2-2b+1}+\frac1{b^2-1}\right)+\frac2{b+1}$ не зависит от $b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm1$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $b^2-2b+1=(b-1)^2$, $b^2-1=(b-1)(b+1)$. При условии $b\ne\pm1$ эти знаменатели ненулевые.

\[(b-1)^2\left(\frac1{(b-1)^2}+\frac1{(b-1)(b+1)}\right)+\frac2{b+1}\]

Сократим множители и приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

\[1+\frac{b-1}{b+1}+\frac2{b+1}=1+\frac{b+1}{b+1}=2.\]

Получено постоянное значение, не зависящее от $b$.

Ответ: выражение тождественно равно 2 при $b\ne\pm1$.

3. Докажите, что при всех значениях \(b\ne\pm1\) значение выражения \((b-1)^2\left(\frac1{b^2-2b+1}+\frac1{b^2-1}\right)+\frac2{b+1}\) не зависит от \(b\).