3. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm4$ значение выражения $(b-4)^2\cdot\left(\frac{1}{b^2-8b+16}+\frac{1}{b^2-16}\right)+\frac{8}{b+4}$ не зависит от $b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm4$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители:

\[b^2-8b+16=(b-4)^2,\qquad b^2-16=(b-4)(b+4).\]

Подставим разложения в выражение и сократим множители, учитывая условие $b\ne\pm4$:

\[(b-4)^2\left(\frac{1}{(b-4)^2}+\frac{1}{(b-4)(b+4)}\right)+\frac{8}{b+4}=1+\frac{b-4}{b+4}+\frac{8}{b+4}.\]

Сложим дроби:

\[1+\frac{b-4+8}{b+4}=1+\frac{b+4}{b+4}=2.\]

Получено постоянное значение, не зависящее от $b$.

Ответ: выражение равно 2 при всех $b\ne\pm4$.

3. Докажите, что при всех значениях \(b\ne\pm4\) значение выражения \((b-4)^2\cdot\left(\frac{1}{b^2-8b+16}+\frac{1}{b^2-16}\right)+\frac{8}{b+4}\) не зависит от \(b\).