3). Докажите, что при всех значениях $\beta\ne\pm1$ значение выражения $(\beta-1)^2\left(\dfrac{1}{\beta^2-2\beta+1}+\dfrac{1}{\beta^2-1}\right)+\dfrac{2}{\beta+1}$ не зависит от $\beta$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3). Докажите, что при всех значениях $\beta\ne\pm1$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $\beta^2-2\beta+1=(\beta-1)^2$, а $\beta^2-1=(\beta-1)(\beta+1)$.

Подставим разложения и сократим дроби с учётом условия $\beta\ne\pm1$:

$(\beta-1)^2\left(\dfrac{1}{(\beta-1)^2}+\dfrac{1}{(\beta-1)(\beta+1)}\right)+\dfrac{2}{\beta+1}=1+\dfrac{\beta-1}{\beta+1}+\dfrac{2}{\beta+1}$.

Сложим дроби с одинаковым знаменателем: $1+\dfrac{\beta-1+2}{\beta+1}=1+\dfrac{\beta+1}{\beta+1}=2$.

Полученное значение постоянно и не зависит от $\beta$.

Ответ: значение выражения равно 2.

3). Докажите, что при всех значениях \(\beta\ne\pm1\) значение выражения \((\beta-1)^2\left(\dfrac{1}{\beta^2-2\beta+1}+\dfrac{1}{\beta^2-1}\right)+\dfrac{2}{\beta+1}\) не зависит от \(\beta\).