3. Докажите, что равносторонний треугольник ABCображается на себя при повороте вокруг точки О на 120° часовой стрелке, где О — точка пересечения его медиан.

Доказательство:

1. Равносторонний треугольник обладает свойством вращательной симметрии. Центром вращательной симметрии равностороннего треугольника является точка пересечения его медиан (также биссектрис и высот), которая называется центром треугольника.

2. У равностороннего треугольника все углы равны 60°.

3. Точка O — центр треугольника ABC.

4. При повороте на 120° вокруг точки O:

• Вершина A перейдет в вершину B.
• Вершина B перейдет в вершину C.
• Вершина C перейдет в вершину A.

Это происходит потому, что расстояния от центра O до всех вершин равны (OA = OB = OC), и углы между векторами OA, OB, OC равны 120°.

\( \angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 120^{\circ} \).

5. Поскольку при повороте на 120° вокруг точки O вершины треугольника ABC переходят друг в друга (A → B, B → C, C → A), то треугольник ABC отображается сам на себя.

6. Поворот на 120° по часовой стрелке приведет к тому, что A перейдет в C, B в A, C в B. Поворот на 120° против часовой стрелки приведет к тому, что A перейдет в B, B в C, C в A.

В условии указан поворот на 120° часовой стрелке. В этом случае A->C, B->A, C->B. Треугольник ABC отображается на треугольник CBA, что совпадает с ABC.

Ответ: Доказано.