3) Докажите, что сумма квадратов двух не кратных трем последовательных натуральных чисел не делится на 6.

3. Доказательство делимости суммы квадратов

1. Рассмотрим три последовательных натуральных числа. Одно из них обязательно кратно 3.


2. Числа, не кратные 3, можно представить в виде \( 3k + 1 \) или \( 3k + 2 \), где \( k \) — целое число.


3. Рассмотрим два случая для двух последовательных натуральных чисел, не кратных 3:




• Случай 1: Числа имеют вид \( 3k + 1 \) и \( 3k + 2 \).



Их сумма квадратов: \( (3k + 1)^2 + (3k + 2)^2 \)




\( = (9k^2 + 6k + 1) + (9k^2 + 12k + 4) \)




\( = 18k^2 + 18k + 5 \)




\( = 6(3k^2 + 3k) + 5 \)




Это число при делении на 6 дает остаток 5.



• Случай 2: Числа имеют вид \( 3k - 1 \) и \( 3k + 1 \) (если рассматривать числа, отстоящие друг от друга на 2, но не кратные 3. Если брать два последовательных, то этот случай невозможен. Рассмотрим два числа, не кратных 3, но следующие друг за другом. Например, 1 и 2. 1 = 3*0+1, 2 = 3*0+2. Или 4 и 5. 4 = 3*1+1, 5 = 3*1+2. Или 7 и 8. 7 = 3*2+1, 8=3*2+2. Так что Случай 1 охватывает все такие пары.)




4. Дополнительное рассмотрение:



Любое натуральное число может быть записано в виде \( 3n \), \( 3n+1 \) или \( 3n+2 \).




Числа, не кратные 3, это числа вида \( 3n+1 \) и \( 3n+2 \).




Два последовательных натуральных числа, не кратных 3, могут быть:





• \( 3n+1 \) и \( 3n+2 \)


• \( 3n+2 \) и \( 3(n+1)+1 = 3n+4 \)





Рассмотрим первый вариант: \( (3n+1)^2 + (3n+2)^2 \)




\( = (9n^2 + 6n + 1) + (9n^2 + 12n + 4) \)




\( = 18n^2 + 18n + 5 = 6(3n^2 + 3n) + 5 \).




Сумма квадратов дает остаток 5 при делении на 6.




Рассмотрим второй вариант: \( (3n+2)^2 + (3n+4)^2 \)




\( = (9n^2 + 12n + 4) + (9n^2 + 24n + 16) \)




\( = 18n^2 + 36n + 20 = 6(3n^2 + 6n + 3) + 2 \).




Сумма квадратов дает остаток 2 при делении на 6.




Оба случая показывают, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел, не кратных трем, не делится на 6.

Ответ: Доказано.