3. Докажите, что в равнобедренном треугольнике точка пересечения биссектрис углов при основании равноудалена от концов основания.

Краткое пояснение:

Равнобедренный треугольник обладает симметрией. Биссектрисы углов при основании играют важную роль в этой симметрии. Равноудаленность точки пересечения биссектрис от концов основания означает, что эта точка находится на оси симметрии.

Пошаговое решение:

1. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, а BC — основание. Биссектрисы углов при основании — это биссектриса угла B (обозначим ее BL) и биссектриса угла C (обозначим ее CM). Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке O.
2. Углы при основании: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ ABC = ∠ ACB.
3. Биссектрисы: BL делит ∠ ABC пополам, а CM делит ∠ ACB пополам. Так как ∠ ABC = ∠ ACB, то и половинки этих углов равны: ∠ OBL = ∠ OCB.
4. Рассмотрим треугольник OBC. Поскольку ∠ OBL = ∠ OCB, треугольник OBC является равнобедренным с основанием BC. Следовательно, OB = OC.
5. Теперь рассмотрим треугольники OBL и OCM.
   • OB = OC (доказано выше).
   • ∠ OBL = ∠ OCM (половины равных углов при основании).
   • ∠ BOL = ∠ COM (вертикальные углы, если бы биссектрисы пересекались с продолжением). В данном случае, это не самое прямое доказательство.
6. Альтернативный подход: Рассмотрим треугольники OBM и OCN (где M и N — точки на основании, если бы O было центром окружности). Вместо этого, давайте докажем, что точка O лежит на оси симметрии треугольника, которая также является биссектрисой угла A и медианой к основанию BC.
7. Треугольник ABC, AB = AC. Биссектрисы BL и CM пересекаются в точке O.
8. Рассмотрим треугольник BМC и C M B (где M - середина BC).
9. Рассмотрим треугольники OBM и OCN, где M и N - точки на сторонах AC и AB соответственно, так что OM и ON - перпендикуляры к сторонам.
10. Более простое доказательство: Так как ∠ ABC = ∠ ACB, и BL и CM — биссектрисы, то ∠ CBL = ∠ BCM. В треугольнике OBC, ∠ OBC = ∠ OCB (так как они равны ∠ ABC / 2 и ∠ ACB / 2 соответственно). Следовательно, треугольник OBC — равнобедренный, и OB = OC.
11. Равноудаленность от концов основания: Теперь нам нужно доказать, что точка O равноудалена от концов основания B и C. Мы уже доказали, что OB = OC.
12. Вывод: Так как OB = OC, точка пересечения биссектрис углов при основании (точка O) равноудалена от концов основания B и C.

Ответ: Точка пересечения биссектрис углов при основании равнобедренного треугольника равноудалена от концов основания, что следует из равенства отрезков OB и OC.