3) Докажите, что в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, \(AD\parallel BC\), а боковые стороны равны: \(AB=CD\).

1. Проведём высоты BE и CF к основанию AD. Тогда \(BE\perp AD\) и \(CF\perp AD\).

2. Расстояние между параллельными прямыми AD и BC постоянно, поэтому \(BE=CF\).

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABE и DCF. У них гипотенузы равны: \(AB=CD\), а катеты равны: \(BE=CF\). Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету.

4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

   \(\angle A=\angle D\).

5. Так как \(AD\parallel BC\), углы при каждой боковой стороне являются внутренними односторонними:

   \(\angle A+\angle B=180^\circ\), \(\angle D+\angle C=180^\circ\).

   Из равенства \(\angle A=\angle D\) получаем \(\angle B=\angle C\).

Вывод: в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: \(\angle A=\angle D\), \(\angle B=\angle C\).