3. Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.

Для доказательства равенства остроугольных треугольников по стороне и проведенным к ней медиане и высоте, нам нужно показать, что если сторона, медиана, проведенная к этой стороне, и высота, проведенная к этой стороне, соответственно равны у двух треугольников, то эти треугольники равны. 1. **Обозначения:** - Рассмотрим два остроугольных треугольника: ABC и A1B1C1. - Предположим, что AB = A1B1, медиана CM = C1M1 (медиана проведена к стороне AB, M - середина AB), и высота CH = C1H1 (высота проведена к AB). 2. **Рассмотрим треугольники CHM и C1H1M1:** - Мы знаем, что CH = C1H1 и CM = C1M1. - Углы CHM и C1H1M1 равны 90 градусов (так как CH и C1H1 - высоты). - По теореме Пифагора, HM^2 = CM^2 - CH^2 и H1M1^2 = C1M1^2 - C1H1^2. Так как CM=C1M1 и CH=C1H1, HM^2 = H1M1^2, следовательно HM = H1M1. - Таким образом, треугольники CHM и C1H1M1 равны по трем сторонам. 3. **Рассмотрим треугольники AHC и A1H1C1:** - CH = C1H1 (по условию). - Углы AHC и A1H1C1 равны 90 градусов. - Из равенства треугольников CHM и C1H1M1 получаем, что ∠HCM=∠H1C1M1. - Мы знаем, что HM = H1M1. - Так как AM=A1M1 (потому что M и M1 - середины AB и A1B1), то, если HM = H1M1, то и AH=A1H1. - Из равенства треугольников AHC и A1H1C1 по двум катетам, получаем AC = A1C1. 4. **Вывод:** - AB = A1B1 (по условию). - AC = A1C1. - BC = B1C1 (аналогично пункту 3, если рассмотреть треугольники BHC и B1H1C1). - По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) треугольники ABC и A1B1C1 равны. **Ответ:** Таким образом, мы доказали, что если два остроугольных треугольника имеют равные стороны и проведенные к этим сторонам медианы и высоты, то эти треугольники равны.