3. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

1. Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABC и A1B1C1. Пусть катет AC = A1C1 и противолежащий угол B = B1. 2. Углы B и B1 равны по условию. Углы C и C1 равны 90°. 3. Следовательно, углы A и A1 равны 180° - 90° - B и 180° - 90° - B1 соответственно, то есть A = A1. По теореме синусов, AC/sin(B) = BC/sin(A) и A1C1/sin(B1) = B1C1/sin(A1). Так как AC = A1C1, sin(B) = sin(B1), sin(A) = sin(A1), то BC = B1C1 и AB = A1B1. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (или по гипотенузе и острому углу). Доказано.