3*. Докажите существование иррациональных чисел.

Докажем, что число √2 иррационально.

1. Предположим обратное: √2 = m/n, где m и n — взаимно простые целые числа, n ≠ 0.
2. Возведём обе части в квадрат: m² = 2n². Значит, m² чётно, поэтому чётно и m. Пусть m = 2k.
3. Подставим это равенство: 4k² = 2n², откуда n² = 2k². Следовательно, n тоже чётно.
4. Тогда m и n имеют общий делитель 2, что противоречит их взаимной простоте.

Предположение неверно, поэтому √2 — иррациональное число. Значит, иррациональные числа существуют.