3. Докажите тождество: 1) \(\left(\frac{b^3}{b^2-8b+16}-\frac{b^2}{b-4}\right):\left(\frac{b^2}{b^2-16}-\frac{b}{b-4}\right)=\frac{b^2+4b}{4-b}\); 2) \(\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y(x-y)^2}{x^4-y^4}=\frac1{x+y}\); 3) \(\left(\frac{m-n}{m^2+mn}-\frac{m}{mn+n^2}\right):\left(\frac{n^2}{m^3-mn^2}+\frac1{m+n}\right)=\frac{n-m}{n}\).

1) Разложим выражения на множители:

\[b^2-8b+16=(b-4)^2,\qquad b^2-16=(b-4)(b+4).\]

\[\frac{b^3}{(b-4)^2}-\frac{b^2}{b-4}=\frac{4b^2}{(b-4)^2},\]

\[\frac{b^2}{(b-4)(b+4)}-\frac{b}{b-4}=-\frac{4b}{(b-4)(b+4)}.\]

Следовательно,

\[\frac{4b^2}{(b-4)^2}:\left(-\frac{4b}{(b-4)(b+4)}\right)=-\frac{b(b+4)}{b-4}=\frac{b^2+4b}{4-b}.\]

Тождество доказано.

2) Так как \(x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)\), имеем

\[\frac{y(x-y)^2}{x^4-y^4}=\frac{y(x-y)}{(x+y)(x^2+y^2)}.\]

Тогда

\[\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y(x-y)}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x+y)(x^2+y^2)}.\]

\[\frac{x^2+xy-xy+y^2}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac1{x+y}.\]

Тождество доказано.

3) Преобразуем первую скобку:

\[\frac{m-n}{m(m+n)}-\frac{m}{n(m+n)}=\frac{n(m-n)-m^2}{mn(m+n)}=-\frac{m^2-mn+n^2}{mn(m+n)}.\]

Преобразуем вторую скобку:

\[\frac{n^2}{m(m-n)(m+n)}+\frac1{m+n}=\frac{n^2+m(m-n)}{m(m-n)(m+n)}=\frac{m^2-mn+n^2}{m(m-n)(m+n)}.\]

Следовательно,

\[-\frac{m^2-mn+n^2}{mn(m+n)}:\frac{m^2-mn+n^2}{m(m-n)(m+n)}=-\frac{m-n}{n}=\frac{n-m}{n}.\]

Тождество доказано.