3. Докажите тождество: \(\left(\frac{1{,}5x-4}{0{,}5x^2-x+2}-\frac{2x-14}{0{,}5x^3+4}+\frac{1}{x+2}\right)\cdot\frac{x+2}{4}=1\).

Обозначим \(q=x^2-2x+4\). Тогда \(0{,}5x^2-x+2=0{,}5q\), а \(0{,}5x^3+4=0{,}5(x+2)q\). Преобразуем выражение в скобках:

\(\frac{1{,}5x-4}{0{,}5q}-\frac{2x-14}{0{,}5(x+2)q}+\frac{1}{x+2}=\frac{3x-8}{q}-\frac{4x-28}{(x+2)q}+\frac{1}{x+2}.\)

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{(3x-8)(x+2)-(4x-28)+q}{(x+2)q}=\frac{4q}{(x+2)q}=\frac{4}{x+2}.\)

Следовательно, всё выражение равно \(\frac{4}{x+2}\cdot\frac{x+2}{4}=1\). Область допустимых значений: \(x\ne-2\); \(q\) не обращается в ноль при действительных \(x\).

Тождество доказано.