3. Докажите тождество: $\left(\frac{2x+5}{x^2+4x+4}-\frac{x+3}{x^2+2x}\right):\frac{x^2-6}{x^3-4x}=\frac{x-2}{x+2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество: $\left(\frac{2x+5}{x^2+4x+4}-\frac{x+3}{x^2+2x}\right):\frac{x^2-6}{x^3-4x}=\frac{x-2}{x+2}$.$ Фото задания

3. Докажите тождество: $\left(\frac{2x+5}{x^2+4x+4}-\frac{x+3}{x^2+2x}\right):\frac{x^2-6}{x^3-4x}=\frac{x-2}{x+2}$.

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители:

$x^2+4x+4=(x+2)^2$, $x^2+2x=x(x+2)$, $x^3-4x=x(x-2)(x+2)$.

Преобразуем выражение в скобках:

$\frac{2x+5}{(x+2)^2}-\frac{x+3}{x(x+2)}=\frac{x(2x+5)-(x+3)(x+2)}{x(x+2)^2}$.

Вычислим числитель:

$x(2x+5)-(x+3)(x+2)=2x^2+5x-(x^2+5x+6)=x^2-6$.

Следовательно,

$\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}:\frac{x^2-6}{x(x-2)(x+2)}=\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}\cdot\frac{x(x-2)(x+2)}{x^2-6}=\frac{x-2}{x+2}$.

Левая часть равна правой, тождество доказано. Ограничения: $x\ne-2,0,2$, а также $x^2\ne6$.

3. Докажите тождество: \(\left(\frac{2x+5}{x^2+4x+4}-\frac{x+3}{x^2+2x}\right):\frac{x^2-6}{x^3-4x}=\frac{x-2}{x+2}\).

Ответ: