3. Докажите тождество: $\left(\frac{m}{m^2-16m+64}-\frac{m+4}{m^2-64}\right):\frac{3m+8}{m^2-64}=\frac4{m-8}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество: $\left(\frac{m}{m^2-16m+64}-\frac{m+4}{m^2-64}\right):\frac{3m+8}{m^2-64}=\frac4{m-8}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $m^2-16m+64=(m-8)^2$, $m^2-64=(m-8)(m+8)$. Тогда

$\frac{m}{(m-8)^2}-\frac{m+4}{(m-8)(m+8)}=\frac{m(m+8)-(m+4)(m-8)}{(m-8)^2(m+8)}$.

В числителе получаем $m^2+8m-(m^2-4m-32)=12m+32=4(3m+8)$. Поэтому левая часть равна

$\frac{4(3m+8)}{(m-8)^2(m+8)}:\frac{3m+8}{(m-8)(m+8)}=\frac{4(3m+8)}{(m-8)^2(m+8)}\cdot\frac{(m-8)(m+8)}{3m+8}=\frac4{m-8}$.

Получили правую часть. Тождество верно при $m\ne8,-8,-\frac83$, чтобы знаменатели исходного выражения были ненулевыми и делитель не обращался в ноль.

3. Докажите тождество: \(\left(\frac{m}{m^2-16m+64}-\frac{m+4}{m^2-64}\right):\frac{3m+8}{m^2-64}=\frac4{m-8}\).