3) Дополнительное задание (по желанию): Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны AB и CD соответственно в точках M и K, вторая — стороны BC и AD соответственно в точках N и L. Докажите, что четырёхугольник MNKL — параллелограмм.

Пусть O — точка пересечения диагоналей и проведённых прямых. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому O — центр центральной симметрии параллелограмма: при симметрии относительно O стороны AB и CD переходят друг в друга, а BC и AD — друг в друга.

Так как M и K лежат на одной прямой через O и на противоположных сторонах AB и CD, центральная симметрия переводит M в K. Следовательно, O — середина MK.

Аналогично симметрия переводит N в L, поэтому O — середина NL.

В четырёхугольнике MNKL отрезки MK и NL являются диагоналями; они пересекаются и делятся точкой пересечения O пополам. По признаку параллелограмма такой четырёхугольник является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.