3. Две беговые дорожки имеют длину 84 м и 126 м. На дорожках нужно нанести отметки через одинаковое наибольшее расстояние так, чтобы отметки точно делили длину каждой дорожки. Через какое наибольшее расстояние можно наносить отметки? Какое наименьшее расстояние должны пробежать два спортсмена, стартовавшие одновременно, чтобы снова одновременно оказаться на линии старта?

Наибольшее расстояние между отметками должно делить и 84 м, и 126 м. Наибольший общий делитель этих чисел равен 42:

\(84 = 2 \cdot 42\), \(126 = 3 \cdot 42\). Значит, отметки можно наносить через 42 м.

Чтобы оба спортсмена одновременно снова оказались на линии старта, каждый должен пробежать расстояние, кратное длине своей дорожки. Наименьшее общее кратное 84 и 126 равно \(252\) м: первый пробежит 3 круга, второй — 2 круга.

Ответ: отметки — через 42 м; каждый спортсмен должен пробежать не менее 252 м.