3. Грузчики планировали за некоторое время разгрузить 160 ящиков. Однако они справились с работой на три часа раньше срока, так как разгружали в час на 12 ящиков больше, чем планировали раньше. Сколько ящиков в час они разгружали на самом деле?

Задание 3. Работа грузчиков

Дано:

• Всего ящиков: \( N = 160 \) шт.
• Время работы оказалось на 3 часа меньше запланированного.
• За час разгружали на 12 ящиков больше, чем планировали.

Найти: количество ящиков, разгруженных в час на самом деле.

Решение:

1. Обозначим запланированное количество ящиков, разгружаемых в час, как \( x \) (ящиков/ч).
2. Тогда запланированное время работы составило бы \( t_{план} = \frac{160}{x} \) часов.
3. На самом деле грузчики разгружали \( x + 12 \) ящиков в час.
4. Фактическое время работы составило \( t_{факт} = \frac{160}{x + 12} \) часов.
5. По условию, фактическое время работы оказалось на 3 часа меньше запланированного: \( t_{факт} = t_{план} - 3 \).
6. Подставим выражения для времени: \[ \frac{160}{x + 12} = \frac{160}{x} - 3 \]
7. Приведем все к общему знаменателю \( x(x+12) \): \[ \frac{160x}{x(x+12)} = \frac{160(x+12)}{x(x+12)} - \frac{3x(x+12)}{x(x+12)} \]
8. Умножим обе части на \( x(x+12) \), предполагая, что \( x
   e 0 \) и \( x
   e -12 \) (скорость не может быть отрицательной или нулевой).
9. \( 160x = 160(x+12) - 3x(x+12) \)
10. Раскроем скобки: \( 160x = 160x + 1920 - 3x^2 - 36x \)
11. Перенесем все в одну сторону: \( 0 = 160x + 1920 - 3x^2 - 36x - 160x \)
12. Упростим: \( 0 = 1920 - 3x^2 - 36x \)
13. Разделим на -3, чтобы упростить квадратное уравнение: \( x^2 + 12x - 640 = 0 \)
14. Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a=1, b=12, c=-640 \).
15. \( D = 12^2 - 4(1)(-640) = 144 + 2560 = 2704 \).
16. \( \sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52 \).
17. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-b + √{D}}{2a} = \frac{-12 + 52}{2(1)} = \frac{40}{2} = 20 \).
18. \( x_2 = \frac{-b - √{D}}{2a} = \frac{-12 - 52}{2(1)} = \frac{-64}{2} = -32 \).
19. Так как \( x \) — это количество ящиков в час, оно не может быть отрицательным. Поэтому \( x = 20 \) ящиков/ч.
20. Это запланированная скорость. Теперь найдем фактическую скорость: \( x + 12 = 20 + 12 = 32 \) ящиков/ч.
21. Проверим: Запланированное время: \( 160 / 20 = 8 \) часов. Фактическое время: \( 160 / 32 = 5 \) часов. Разница во времени: \( 8 - 5 = 3 \) часа. Условие выполнено.

Ответ: на самом деле они разгружали 32 ящика в час.