3. Хорды AB и CD пересекаются в точке F так, что AF = 4 см, AB = 16 см, CF = DF. Найдите CD.

Решение:

1. Найдем длину отрезка FB. Так как AB = 16 см и AF = 4 см, то FB = AB - AF = 16 - 4 = 12 см.

2. По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AF \( \cdot \) FB = CF \( \cdot \) DF.

3. Подставим известные значения: 4 \( \cdot \) 12 = CF \( \cdot \) DF.

4. У нас есть 48 = CF \( \cdot \) DF.

5. Из условия задачи известно, что CF = DF. Обозначим эту длину как x.

6. Тогда получим уравнение: x \( \cdot \) x = 48, то есть \( x^2 = 48 \).

7. Найдем x: \( x = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \) см.

8. Так как CF = DF = x, то длина хорды CD = CF + DF = x + x = 2x.

9. Вычислим CD: \( CD = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \) см.

Ответ: CD = \( 8\sqrt{3} \) см.