3. Хорды KL и MN пересекаются в точке D. Найдите отрезки, на которые точка D делит хорду KL, если KL=12, DM=4, DN=5.

Решение:

1. Свойство пересекающихся хорд:
   Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В данном случае:
   \[ KD \cdot DL = MD \cdot DN \]
2. Нахождение отрезков хорды KL:
   Нам дано, что DM = 4 и DN = 5.
   Следовательно, MD ⋅ DN = 4 ⋅ 5 = 20.
   Теперь подставим это значение в уравнение:
   \[ KD \cdot DL = 20 \]
3. Использование длины хорды KL:
   Также известно, что длина хорды KL равна 12. Точка D делит хорду KL на два отрезка: KD и DL. Следовательно:
   \[ KD + DL = 12 \]
4. Система уравнений:
   У нас есть система из двух уравнений:
   
   1. KD ⋅ DL = 20
   2. KD + DL = 12
5. Решение системы:
   Из второго уравнения выразим DL:
   DL = 12 - KD.
   Подставим это в первое уравнение:
   KD ⋅ (12 - KD) = 20
   12*KD - KD² = 20
   KD² - 12*KD + 20 = 0.
   Это квадратное уравнение. Решим его, используя дискриминант:
   D = b² - 4ac = (-12)² - 4 * 1 * 20 = 144 - 80 = 64.
   √D = 8.
   KD₁ = (12 + 8) / 2 = 20 / 2 = 10.
   KD₂ = (12 - 8) / 2 = 4 / 2 = 2.
   Если KD = 10, то DL = 12 - 10 = 2.
   Если KD = 2, то DL = 12 - 2 = 10.

Ответ: Точка D делит хорду KL на отрезки длиной 10 и 2.