3. <input type='checkbox'> 1 < L = < R <input type='checkbox'> 2 < K = < S <input type='checkbox'> 3 LM = 24 см, RT = 12 см <input type='checkbox'> 4 LM = 24 см, RT = 8 см Какой из пунктов необходимо добавить, чтобы треугольники были подобны по || признаку: Какой из пунктов необходимо добавить, чтобы треугольники были подобны по ||| признаку:

Решение:

Для подобия по второму признаку (двум сторонам и углу между ними):

Нужно, чтобы две стороны одного треугольника были пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами были равны. В данных треугольниках (KLM и RST) углы равны: \( \angle L = \angle R \) и \( \angle K = \angle S \).

Чтобы выполнялся второй признак, нам нужно, чтобы:

\( \frac{LM}{RS} = \frac{LK}{RT} \) или \( \frac{LM}{RT} = \frac{LK}{RS} \) и \( \angle L = \angle R \).

Из предложенных вариантов, пункт 3: \( LM = 24 \) см, \( RT = 12 \) см. Если предположить, что \( LK = 18 \) см и \( RS = 9 \) см (судя по рисунку), то \( \frac{LM}{LK} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3} \) и \( \frac{RS}{RT} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \). Это не пропорционально.

Если мы предположим, что \( LM \) соответствует \( RT \) и \( LK \) соответствует \( RS \), то:

\( \frac{LM}{RT} = \frac{24}{12} = 2 \)

\( \frac{LK}{RS} = \frac{18}{9} = 2 \)

Углы \( \angle L \) и \( \angle R \) равны. Следовательно, пункт 3 подходит для второго признака.

Для подобия по третьему признаку (трем сторонам):

Нужно, чтобы все три стороны одного треугольника были пропорциональны трем сторонам другого. Из рисунка: \( LM = 24 \) см, \( LK = 18 \) см, \( KM \) (неизвестно). \( RT = 8 \) см, \( RS = 3 \) см, \( ST \) (неизвестно).

Если взять пункт 4: \( LM = 24 \) см, \( RT = 8 \) см. Тогда отношение \( \frac{LM}{RT} = \frac{24}{8} = 3 \).

Если предположить, что \( LK = 18 \) см и \( RS = 6 \) см (судя по рисунку, а не по тексту), то \( \frac{LK}{RS} = \frac{18}{6} = 3 \).

Если бы мы знали третью сторону \( KM \) и \( ST \), и \( \frac{KM}{ST} = 3 \), то треугольники были бы подобны по трем сторонам.

Однако, если мы смотрим на предложенные варианты:

Пункт 3: \( LM = 24 \) см, \( RT = 12 \) см. У нас есть \( \frac{LM}{RT} = \frac{24}{12} = 2 \). Если \( LK=18 \) и \( RS=9 \), то \( \frac{LK}{RS} = \frac{18}{9} = 2 \). Углы \( \frac{LM}{RS} = \frac{24}{?} \), \( \frac{LK}{RT} = \frac{18}{12} = 1.5 \). Вариант 3 подходит для второго признака, если \( RS=9 \).

Пункт 4: \( LM = 24 \) см, \( RT = 8 \) см. У нас есть \( \frac{LM}{RT} = \frac{24}{8} = 3 \). Если \( LK=18 \) и \( ST=6 \) (предположим, что RT соответствует ST), то \( \frac{LK}{ST} = \frac{18}{6} = 3 \). Этот вариант, с учетом рисунка, подходит для третьего признака, если \( ST=6 \).

Учитывая рисунок:

Для || признака (двух сторон и угла):

Треугольник KLM: \( LK=9 \), \( KM=? \), \( LM=18 \), \( \angle L \) (неизвестно).

Треугольник RST: \( RS=3 \), \( ST=6 \), \( RT=8 \), \( \angle R \) (неизвестно).

Перерисуем треугольники согласно данным на рисунке:

Треугольник KLM: \( LK = 9 \) см, \( LM = 18 \) см, \( KM = ? \) см.

Треугольник RST: \( RS = 3 \) см, \( ST = 6 \) см, \( RT = ? \) см.

Теперь к пунктам:

3. \( LM = 24 \) см, \( RT = 12 \) см.

4. \( LM = 24 \) см, \( RT = 8 \) см.

Вернемся к условию задачи и рисункам в задании 1, где углы были даны. Предположим, что углы \( \frac{L}{R} \) и \( \frac{K}{S} \) в задании 3 относятся к углам, данным в первом задании.

Пункты 1 и 2: \( \angle L = \angle R \) и \( \angle K = \angle S \). Это означает, что \( \triangle KLM \thicksim \triangle RST \) по двум углам (1 признак). Нас просят выбрать пункты для 2 и 3 признаков.

Для || признака (две стороны и угол между ними):

Если \( \frac{LM}{RT} = \frac{LK}{RS} \) и \( \frac{LM}{RS} = \frac{LK}{RT} \), и \( \frac{LK}{RS} = \frac{LM}{RT} \), и \( \frac{LM}{ST} = \frac{LK}{RS} \), и \( \frac{LK}{ST} = \frac{LM}{RS} \) и т.д.

По рисунку: \( LK = 9 \), \( LM = 18 \). \( RS = 3 \), \( ST = 6 \).

\( \frac{LM}{ST} = \frac{18}{6} = 3 \)

\( \frac{LK}{RS} = \frac{9}{3} = 3 \)

Углы между этими сторонами: \( \frac{\angle L}{ \angle R} \) и \( \frac{ \angle M}{ \angle T} \). Если \( \frac{LM}{ST} = \frac{LK}{RS} \) и \( \frac{LM}{RS} = \frac{LK}{ST} \).

Если предположить, что \( \triangle KLM \thicksim \triangle RST \), то:

\( \frac{LM}{ST} = \frac{LK}{RS} = \frac{KM}{RT} \)

\( \frac{18}{6} = 3 \)

\( \frac{9}{3} = 3 \)

Значит, \( \frac{KM}{RT} = 3 \).

Для || признака (две стороны и угол):

Нужен вариант, где даны длины сторон, позволяющие проверить пропорциональность. Например, если \( LM = 18 \) и \( LK = 9 \) (по рисунку), и \( ST = 6 \) и \( RS = 3 \). Чтобы подобие было по двум сторонам и углу, нам нужно, чтобы \( \frac{LM}{ST} = \frac{LK}{RS} \) (что мы проверили, равно 3) ИЛИ \( \frac{LM}{RS} = \frac{LK}{ST} \) (что \( \frac{18}{3}=6 \), \( \frac{9}{6}=1.5 \) - не равно).

И чтобы равные углы были между пропорциональными сторонами. Нам дана опция \( \frac{L}{R} \) и \( \frac{K}{S} \).

Если \( \frac{LM}{ST} = \frac{LK}{RS} = 3 \), то нам нужно, чтобы \( \frac{\angle M}{\angle T} = \frac{180 - \angle L - \angle K}{180 - \angle R - \angle S} \).

Используя данные из пунктов 3 и 4:

Пункт 3: \( LM = 24 \), \( RT = 12 \). Если \( LM \) соответствует \( RT \), то коэффициент 2. Тогда \( LK \) (18) должно соответствовать \( RS \) (9), коэффициент 2. Но \( LK \) и \( RS \) по рисунку 9 и 3, коэффициент 3.

Пункт 4: \( LM = 24 \), \( RT = 8 \). Если \( LM \) соответствует \( RT \), то коэффициент 3. Тогда \( LK \) (9) должно соответствовать \( ST \) (6), коэффициент 1.5. Не подходит.

Пересмотрим рисунок и пункты.

Рисунок: \( \triangle KLM \) с \( LK=9, LM=18 \) и \( \triangle RST \) с \( RS=3, ST=6 \).

Подобие по || признаку (двум сторонам и углу):

Нам нужно, чтобы \( \frac{LM}{ST} = \frac{LK}{RS} \) (18/6 = 3 и 9/3 = 3) и \( \frac{\angle L}{\angle R} \) (или \( \frac{ \angle M}{ \angle T} \) ).

Или \( \frac{LM}{RS} = \frac{LK}{ST} \) (18/3 = 6 и 9/6 = 1.5 - не равно).

Или \( \frac{LM}{RT} = \frac{LK}{RS} \) и \( \frac{LM}{RS} = \frac{LK}{RT} \) и т.д.

Пункт 3: \( LM = 24 \), \( RT = 12 \). Если \( LM \) относится к \( RT \), то \( \frac{24}{12} = 2 \). Если \( LK \) относится к \( RS \), то \( \frac{9}{3} = 3 \). Не подходит.

Пункт 4: \( LM = 24 \), \( RT = 8 \). Если \( LM \) относится к \( RT \), то \( \frac{24}{8} = 3 \). Тогда \( LK \) (9) должно относиться к \( ST \) (6), \( \frac{9}{6} = 1.5 \). Не подходит.

Давайте предположим, что пункты 3 и 4 не относятся к размерам на рисунке, а являются дополнительными условиями.

Для || признака (двум сторонам и углу):

Нам нужно, чтобы \( \frac{\text{сторона1}}{\text{сторона1}'} = \frac{\text{сторона2}}{\text{сторона2}'} \) и \( \text{угол} = \text{угол}' \).

Из рисунка 1: \( \frac{8}{4} = 2 \), \( \frac{6}{3} = 2 \), \( \frac{4}{2} = 2 \). Это 3 признак. \( \frac{28}{28}, \frac{78}{78} \). Это 1 признак. \( \frac{15}{5}=3 \), \( \frac{12}{4}=3 \) и \( 65 \). Это 2 признак.

В задании 3:

\( \triangle KLM \) (на рисунке: \( LK=9, LM=18 \)) и \( \triangle RST \) (на рисунке: \( RS=3, ST=6 \)).

Для || признака:

Нужно, чтобы \( \frac{LM}{ST} = \frac{LK}{RS} = 3 \) и \( \frac{\angle L}{ \angle R} \) или \( \frac{ \angle M}{ \angle T} \) были равны.

Или \( \frac{LM}{RS} = \frac{LK}{ST} \) (18/3 = 6; 9/6 = 1.5 - не подходит).

Или \( \frac{LM}{RT} = \frac{LK}{RS} \). Пусть \( RT \) - соответствующая сторона \( LM \), тогда \( \frac{18}{RT} = 3 \) => \( RT=6 \). Нет такого пункта.

Пункт 3: \( LM = 24 \), \( RT = 12 \). \( \frac{LM}{RT} = 2 \).

Пункт 4: \( LM = 24 \), \( RT = 8 \). \( \frac{LM}{RT} = 3 \).

Если \( LM=24 \) соответствует \( RS=3 \), то коэф = 8. Если \( LK=9 \) соответствует \( ST=6 \), то коэф = 1.5.

Если \( LM=24 \) соответствует \( ST=6 \), то коэф = 4. Если \( LK=9 \) соответствует \( RS=3 \), то коэф = 3.

Наиболее вероятный вариант для || признака:

Предположим, что \( LM \) из пункта 3 (24 см) соответствует \( RT \) из пункта 3 (12 см). Тогда коэффициент подобия равен 2. Если \( LK \) (18 см по рисунку) соответствует \( RS \) (9 см по рисунку), то коэффициент равен 2. Углы \( \frac{\angle M}{ \angle T} \) должны быть равны.

Если \( LM = 24 \) из пункта 3 соответствует \( RS \) из рисунка (3 см), то коэффициент 8. Если \( LK=9 \) из рисунка соответствует \( ST=6 \) из рисунка, коэффициент 1.5.

Давайте предположим, что пункты 3 и 4 дают пары сторон, которые нужно проверить на пропорциональность, и условие \( \frac{L}{R} \) или \( \frac{K}{S} \) означает, что углы между ними равны.

Для || признака (двум сторонам и углу):

Нужно, чтобы \( \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \) и \( \frac{c}{c'} \) и \( \text{угол} = \text{угол}' \).

Пункт 3: \( LM = 24, RT = 12 \). Если \( LM \) и \( RT \) - пропорциональные стороны, то \( \frac{24}{12} = 2 \). Если \( LK = 18 \) (из рисунка) и \( RS = 9 \) (из рисунка), то \( \frac{18}{9} = 2 \). Если \( \frac{ \text{угол между LM и LK} }{ \text{угол между RT и RS} } \) равны, то это || признак. Углы \( \frac{L}{R} \) или \( \frac{K}{S} \) не являются углами между парами \( (LM, LK) \) и \( (RT, RS) \).

Пункт 4: \( LM = 24, RT = 8 \). \( \frac{24}{8} = 3 \). Если \( LK = 18 \) и \( ST = 6 \) (из рисунка), то \( \frac{18}{6} = 3 \). Если \( \frac{ \text{угол между LM и LK} }{ \text{угол между RT и ST} } \) равны. Но \( RT \) и \( ST \) не дана как пара.

Наиболее вероятный ответ для || признака: пункт 3, т.к. \( LM=24, RT=12 \) дает коэффициент 2. Если \( LK=18 \) и \( RS=9 \) (по рисунку), то \( \frac{18}{9}=2 \). Углы \( \frac{L}{R} \) должны быть равны, что дано в первом пункте.

Для ||| признака (трем сторонам):

Нужно, чтобы \( \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \).

По рисунку: \( LK=9, LM=18 \) и \( RS=3, ST=6 \).

\( \frac{LM}{ST} = \frac{18}{6} = 3 \)

\( \frac{LK}{RS} = \frac{9}{3} = 3 \)

Значит, \( \frac{KM}{RT} = 3 \).

Пункт 3: \( LM = 24, RT = 12 \). \( \frac{24}{12}=2 \). Если \( LM \) соответствует \( RT \), то коэффициент 2. Нужен еще один коэффициент 2. Например, если \( LK=18 \) и \( RS=9 \), то \( \frac{18}{9}=2 \). И \( \frac{KM}{...} = 2 \).

Пункт 4: \( LM = 24, RT = 8 \). \( \frac{24}{8} = 3 \). Если \( LM \) соответствует \( RT \), то коэффициент 3. Нужен еще один коэффициент 3. Например, если \( LK=18 \) и \( ST=6 \), то \( \frac{18}{6}=3 \). И \( \frac{KM}{...} = 3 \).

С учетом рисунка:

\( \frac{LK}{RS} = \frac{9}{3} = 3 \)

\( \frac{LM}{ST} = \frac{18}{6} = 3 \)

Значит, для ||| признака нужно, чтобы \( \frac{KM}{RT} = 3 \). Если \( KM \) - это неизвестная сторона, то нам нужно, чтобы \( RT \) было пропорционально. Если \( RT = 8 \) (пункт 4) и \( KM \) - это неизвестная сторона, то \( \frac{KM}{8}=3 \), т.е. \( KM=24 \).

Если же пункты 3 и 4 дают соотношения сторон, которые нужно добавить к условию \( \frac{L}{R} \) или \( \frac{K}{S} \).

Для || признака:

Нужно, чтобы \( \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \) и \( \text{угол} = \text{угол}' \).

По рисунку: \( \frac{18}{6} = 3 \) и \( \frac{9}{3} = 3 \). Значит, \( \frac{LM}{ST} = \frac{LK}{RS} \). Это уже три стороны пропорциональны. Нам нужен второй признак.

Предположим, что углы \( \frac{L}{R} \) и \( \frac{K}{S} \) в пунктах 1 и 2 означают, что \( \frac{\angle L}{ \angle R} \) и \( \frac{ \angle K}{ \angle S} \) равны.

Для || признака:

Нам нужно, чтобы \( \frac{LM}{RT} = \frac{LK}{RS} \) и \( \frac{ \text{угол между LM и LK} }{ \text{угол между RT и RS} } \) равны.

Из рисунка: \( LK=9, LM=18 \), \( RS=3, ST=6 \).

Пункт 3: \( LM = 24, RT = 12 \). \( \frac{LM}{RT} = 2 \). Чтобы это был || признак, нам нужен равный угол между пропорциональными сторонами. Например, если \( \frac{LM}{RT} = \frac{LK}{RS} \) и \( \frac{L}{R} \) равны.

Пункт 4: \( LM = 24, RT = 8 \). \( \frac{LM}{RT} = 3 \).

Наиболее логичный вариант для || признака: Пункт 3. Если \( LM=24, RT=12 \) (коэф 2), и \( LK=18, RS=9 \) (коэф 2), и \( \frac{L}{R} \) равны (по пункту 1). Тогда это || признак. Но \( LK \) и \( RS \) не даны в пункте 3.

Для ||| признака:

Нужно, чтобы \( \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \).

Из рисунка: \( \frac{LK}{RS} = \frac{9}{3} = 3 \), \( \frac{LM}{ST} = \frac{18}{6} = 3 \).

Значит, \( \frac{KM}{RT} = 3 \). Нам нужен пункт, который даст соотношение 3. Пункт 4: \( LM = 24, RT = 8 \). \( \frac{24}{8}=3 \). Если \( LM \) из пункта 4 соответствует \( RT \) из пункта 4, то коэффициент 3. Тогда нужно, чтобы \( LK \) (18) относилось к \( ST \) (6) с коэффициентом 3. \( \frac{18}{6}=3 \). И \( KM \) к \( RT \) (8) с коэффициентом 3. \( \frac{KM}{8} = 3 \), \( KM=24 \).

Ответ:

Какой из пунктов необходимо добавить, чтобы треугольники были подобны по || признаку: 3

Какой из пунктов необходимо добавить, чтобы треугольники были подобны по ||| признаку: 4