3. Используя результаты вычислений в задании 2а, постройте график функции $y=x^2+4x+1$. Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых $f(x)<0$ и $f(x)>0$; б) промежутки убывания и возрастания функции; наименьшее её значение.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Используя результаты вычислений в задании 2а, постройте график функции $y=x^2+4x+1$. Найдите по графику: а) нули…$ Фото задания

3. Используя результаты вычислений в задании 2а, постройте график функции $y=x^2+4x+1$. Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых $f(x)<0$ и $f(x)>0$; б) промежутки убывания и возрастания функции; наименьшее её значение.

Accepted Answer

Приведём функцию к виду, удобному для построения: $y=x^2+4x+1=(x+2)^2-3$. Значит, вершина параболы — $(-2; -3)$, ось симметрии — $x=-2$, ветви направлены вверх.

Нули найдём из уравнения $x^2+4x+1=0$: $x=\frac{-4\pm\sqrt{16-4}}{2}=-2\pm\sqrt{3}$. Приблизительно это $-3.73$ и $-0.27$.

а) Нули функции: $x=-2-\sqrt{3}$ и $x=-2+\sqrt{3}$. Поскольку парабола направлена вверх, $f(x)<0$ между нулями, а $f(x)>0$ вне промежутка между ними.
б) До вершины функция убывает, после вершины возрастает. Наименьшее значение достигается в вершине.

Ответ: нули — $-2-\sqrt{3}$ и $-2+\sqrt{3}$; $f(x)<0$ при $-2-\sqrt{3}<x<-2+\sqrt{3}$; $f(x)>0$ при $x<-2-\sqrt{3}$ или $x>-2+\sqrt{3}$; функция убывает на $(-; -2)$, возрастает на $(-2; +)$; наименьшее значение равно $-3$.