3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 2

Решение:

1. Находим производную функции:

\( f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x - 2)' = 3x^2 - 12x + 9 \).

2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \).

Разделим на 3: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).

Найдём корни квадратного уравнения:

\( x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{(-4)^2 - 4 &\#x002B;\;1 &\#x002B;\;3}}{2 &\#x002B;\;1} = \frac{4 + \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \).

\( x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{(-4)^2 - 4 &\#x002B;\;1 &\#x002B;\;3}}{2 &\#x002B;\;1} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \).

Критические точки: \( x = 1 \) и \( x = 3 \).

3. Определяем знаки производной на интервалах:

• На интервале \( (-∞, 1) \): возьмём \( x=0 \). \( f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (1, 3) \): возьмём \( x=2 \). \( f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (3, +∞) \): возьмём \( x=4 \). \( f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума:

• В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с '+' на '-', значит, это точка локального максимума.
• \( f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 2 = 1 - 6 + 9 - 2 = 2 \). Точка максимума: (1; 2).
• В точке \( x = 3 \) производная меняет знак с '-' на '+', значит, это точка локального минимума.
• \( f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 2 = 27 - 54 + 27 - 2 = -2 \). Точка минимума: (3; -2).

Вывод:

Функция возрастает на \( (-∞, 1] \) и \( [3, +∞) \).

Функция убывает на \( [1, 3] \).

Локальный максимум в точке \( x=1 \), \( y_{max}=2 \).

Локальный минимум в точке \( x=3 \), \( y_{min}=-2 \).