3. Из концов диаметра \(AB\) и его центра \(O\) данной окружности проведены прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(OO_1\), перпендикулярные диаметру \(AB\), которые пересекают касательную \(b\) в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(O_1\). Найдите длину отрезка \(AA_1\), если \(BB_1=15\) см и \(OO_1=12\) см.

Так как \(O\) — середина диаметра \(AB\), перпендикулярные ему прямые через \(A\), \(O\) и \(B\) параллельны. На этих параллельных прямых отрезки до прямой касательной изменяются линейно: при расположении точек пересечения по одну сторону от \(AB\) выполняется \(OO_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}\).

Подставим значения: \(12=\frac{AA_1+15}{2}\).

Тогда \(AA_1=24-15=9\) см.

Ответ: 9 см.