3. Из точки М, отстоящей от плоскости на 10 см, проведена наклонная, составляющая с плоскостью угол 30°. Найдите проекцию наклонной на данную плоскость.

Решение:

Пусть точка М находится на расстоянии 10 см от плоскости α. Это расстояние — перпендикуляр, опущенный из точки М на плоскость. Обозначим основание этого перпендикуляра как H. Таким образом, MH = 10 см.

Из точки М проведена наклонная MK к плоскости α. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Обозначим проекцию как HK. Угол между наклонной MK и плоскостью α равен 30°, то есть \( \angle MKH = 30° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник MHK, где \( \angle MHK = 90° \) (так как MH — перпендикуляр к плоскости).

В этом треугольнике:

• MH = 10 см (катет, противолежащий углу 30°).
• HK — катет, являющийся проекцией наклонной.
• MK — гипотенуза.

По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

\( \tan(\angle MKH) = \frac{MH}{HK} \)

\( \tan(30°) = \frac{10}{HK} \)

Мы знаем, что \( \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{HK} \)

Отсюда находим HK:

\( HK = 10 \cdot \sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 10\sqrt{3} \) см.