3. Из центра окружности О к хорде АВ проведен перпендикуляр ОС, равный 20 см. Найдите хорду АВ, если ∠OAB = 45°.

Решение:

Рассмотрим треугольник OAB. OA и OB — радиусы окружности, значит \( OA = OB \). Треугольник OAB — равнобедренный.

По условию, OC — перпендикуляр к хорде AB, проведенный из центра окружности. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой.

Следовательно, OC делит хорду AB пополам: \( AC = CB \).

Также OC делит угол \( \angle AOB \) пополам.

В треугольнике OAC: \( \angle OAC = 45° \), \( \angle OCA = 90° \) (так как OC перпендикуляр). Следовательно, \( \angle AOC = 180° - 90° - 45° = 45° \).

Так как \( \angle OAC = \angle AOC = 45° \), то треугольник OAC — равнобедренный. Отсюда \( AC = OC \).

По условию, \( OC = 20 \) см.

Значит, \( AC = 20 \) см.

Так как OC — медиана, то \( AB = 2 \cdot AC \).

\( AB = 2 \cdot 20 \) см.

\( AB = 40 \) см.

Ответ: 40 см.