3. Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведён перпендикуляр CE к прямой AD, содержащей большее основание. Докажите, что AE = (AD + BC)/2.

Пусть E — основание перпендикуляра из C на прямую AD. Опустим также перпендикуляр из B на AD, обозначив его основание F.

Поскольку BC ∥ AD, четырёхугольник BFCE — прямоугольник: BF и CE перпендикулярны AD, а BC и FE параллельны AD. Поэтому FE = BC.

Треугольники ABF и DCE прямоугольные. В равнобедренной трапеции AB = CD, а высоты BF и CE равны, поэтому эти прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Следовательно, AF = DE.

Так как E лежит на отрезке AD, имеем AD = AF + FE + DE. Подставим FE = BC и DE = AF:

AD = 2AF + BC, откуда AF = (AD − BC)/2.

Тогда AE = AF + FE = (AD − BC)/2 + BC = (AD + BC)/2.

Что и требовалось доказать.