№3. Известно, что при делении на 3 число а дает остаток 1. Какой остаток получится при делении на 3 значения выражения 4a^2 - 7a + 6?

Решение:

Если при делении числа \( a \) на 3 остаток равен 1, то \( a \) можно представить в виде \( a = 3k + 1 \), где \( k \) — целое число.

1. Возведем \( a \) в квадрат: \( a^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 \).
2. При делении \( a^2 \) на 3 остаток равен 1 (так как \( 9k^2 \) и \( 6k \) делятся на 3 без остатка).
3. Умножим \( a^2 \) на 4: \( 4a^2 = 4(9k^2 + 6k + 1) = 36k^2 + 24k + 4 \).
4. При делении \( 4a^2 \) на 3 остаток равен \( 4 \) (или \( 1 \), так как \( 4 = 3 \cdot 1 + 1 \)).
5. Умножим \( a \) на 7: \( 7a = 7(3k+1) = 21k + 7 \).
6. При делении \( 7a \) на 3 остаток равен \( 7 \) (или \( 1 \), так как \( 7 = 3 \cdot 2 + 1 \)).
7. Теперь рассмотрим все выражение \( 4a^2 - 7a + 6 \).
8. Остаток от деления \( 4a^2 \) на 3 равен 1.
9. Остаток от деления \( 7a \) на 3 равен 1.
10. Число 6 делится на 3 без остатка.
11. Остаток от деления \( 4a^2 - 7a + 6 \) на 3 равен остатку от \( 1 - 1 + 0 = 0 \).

Ответ: 0