3. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найти радиус окружности, если АВ = 6 см, АО = 8 см.

Привет! Давай разберёмся с этой задачей. У нас есть окружность с центром в точке О. Из точки А к окружности проведены касательная АВ и секущая АО. Мы знаем, что длина касательной АВ = 6 см, а секущей АО = 8 см. Нужно найти радиус окружности.

Важное свойство: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. В нашем случае, радиус — это отрезок, соединяющий центр О с точкой на окружности. Отрезок АВ — касательная, а значит, он перпендикулярен радиусу, который проведён из точки О к точке касания В. Если бы мы провели радиус OB, то угол ОВА был бы прямым (90°).

Но тут есть один момент! Секущая проведена из точки А к центру О. Это значит, что отрезок АО проходит через центр О. Точка В — точка касания, а точка О — центр окружности. Отрезок OB — это радиус окружности.

Что мы знаем?

• AB — касательная.
• AO — секущая, проходящая через центр O.
• OB — это радиус окружности.
• Угол между касательной и радиусом в точке касания равен 90°, то есть ∠ABO = 90°.

Получается, что у нас есть прямоугольный треугольник ABO, где:

• AB = 6 см (катет)
• OB = r (радиус, второй катет)
• AO = 8 см (гипотенуза, так как она лежит напротив прямого угла)

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[ AB^2 + OB^2 = AO^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ 6^2 + r^2 = 8^2 \]

\[ 36 + r^2 = 64 \]

Теперь найдём r²:

\[ r^2 = 64 - 36 \]

\[ r^2 = 28 \]

Чтобы найти радиус r, нужно извлечь квадратный корень из 28:

\[ r = \sqrt{28} \]

Можно упростить корень: 28 = 4 * 7, поэтому:

\[ r = \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{4} \times \sqrt{7} = 2\sqrt{7} \]

Ответ: Радиус окружности равен $$2\sqrt{7}$$ см.