3. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 10°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Задание 3. Касательные к окружности

Дано:

• Окружность с центром O
• Касательные в точках A и B пересекаются под углом 10°.

Найти: угол \( ∠ ABO \)

Решение:

1. Пусть точки пересечения касательных — C. Тогда \( ∠ ACB = 10^° \).
2. Рассмотрим треугольник \( ∆ OAC \). Угол \( ∠ OAC = 90^° \), так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
3. В \( ∆ OAC \) сумма углов равна 180°. Поэтому \( ∠ AOC = 180^° - 90^° - ∠ OCA \).
4. Аналогично, в треугольнике \( ∆ OBC \), \( ∠ OBC = 90^° \) и \( ∠ BOC = 180^° - 90^° - ∠ OCB \).
5. Так как \( ∆ OAC = ∆ OBC \) (по гипотенузе и катету), то \( ∠ OCA = ∠ OCB \).
6. Угол \( ∠ ACB = ∠ OCA + ∠ OCB = 2 × ∠ OCA = 10^° \).
7. Следовательно, \( ∠ OCA = ∠ OCB = 5^° \).
8. Теперь найдём \( ∠ AOC \) и \( ∠ BOC \):
9. \( ∠ AOC = ∠ BOC = 180^° - 90^° - 5^° = 85^° \).
10. Рассмотрим треугольник \( ∆ ABO \). OA = OB (радиусы), значит, \( ∆ ABO \) — равнобедренный.
11. Угол \( ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 85^° + 85^° = 170^° \) (или \( ∠ AOB = 360^° - ∠ AOC - ∠ BOC \) - неверно, т.к. C - точка пересечения).
12. Правильный путь: угол \( ∠ AOB \) является центральным для дуги AB. Центральный угол \( ∠ AOB \) и вписанный угол \( ∠ ACB \) не связаны напрямую.
13. Рассмотрим четырёхугольник AOBC. Сумма углов равна 360°.
14. \( ∠ AOB + ∠ OAC + ∠ ACB + ∠ OBC = 360^° \) - это неверно, т.к. ∠ ACB не является углом четырёхугольника.
15. Правильно: \( ∠ AOB + ∠ OAC + ∠ OBC = 360^° - ∠ ACB \) - тоже неверно.
16. Рассмотрим четырёхугольник AOBC. \( ∠ AOB + ∠ OAC + ∠ ACB + ∠ OBC \) - это не углы четырёхугольника.
17. Правильно: Сумма углов четырёхугольника AOBC: \( ∠ AOB + ∠ OAC + ∠ OBC + ∠ ACB \) - неверно.
18. В четырёхугольнике AOBC: \( ∠ AOB + ∠ OAC + ∠ OBC + ∠ ACB \) - неверно.
19. В четырёхугольнике AOBC, \( ∠ AOB + ∠ OAC + ∠ OBC = 360^° - ∠ ACB \) - неверно.
20. Сумма углов четырёхугольника AOBC: \( ∠ AOB + ∠ OAC + ∠ OBC = 360^° \).
21. \( ∠ OAC = 90^° \), \( ∠ OBC = 90^° \).
22. \( ∠ AOB + 90^° + 90^° + 10^° \) - неверно.
23. Угол при вершине C равен 10°. Значит, \( ∠ ACB = 10^° \).
24. Центральный угол \( ∠ AOB \) и угол \( ∠ ACB \) не связаны напрямую.
25. Другой подход:
26. Рассмотрим \( ∆ OAC \) и \( ∆ OBC \). \( OA = OB \) (радиусы), \( OC \) - общая сторона, \( AC = BC \) (касательные, проведённые из одной точки).
27. Значит, \( ∆ OAC = ∆ OBC \) по трём сторонам.
28. Тогда \( ∠ ACO = ∠ BCO = 10^° / 2 = 5^° \) и \( ∠ AOC = ∠ BOC \).
29. Рассмотрим \( ∆ OAC \). \( ∠ OAC = 90^° \) (радиус перпендикулярен касательной).
30. \( ∠ AOC = 180^° - 90^° - 5^° = 85^° \).
31. \( ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 85^° + 85^° = 170^° \).
32. Теперь рассмотрим \( ∆ ABO \). Это равнобедренный треугольник, так как \( OA = OB \) (радиусы).
33. Углы при основании \( ∆ ABO \) равны: \( ∠ OAB = ∠ OBA \).
34. Сумма углов в \( ∆ ABO \) равна 180°.
35. \( ∠ OAB + ∠ OBA + ∠ AOB = 180^° \)
36. \( 2 × ∠ OBA + 170^° = 180^° \)
37. \( 2 × ∠ OBA = 10^° \)
38. \( ∠ OBA = 5^° \)

Ответ: 5