3. Меньшая сторона прямоугольника ABCD равна 18 см. O - точка пересечения диагоналей, ∠AOD = 120°. Определите длину диагонали.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Треугольник AOD — равнобедренный (AO = DO, так как они половины равных диагоналей).

Угол ∠AOD = 120°.

Углы при основании равнобедренного треугольника AOD равны: \( \angle OAD = \angle ODA = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30° \).

В прямоугольном треугольнике ABD, угол ∠ABD = ∠ADO = 30°.

Меньшая сторона прямоугольника AB = 18 см.

В прямоугольном треугольнике ABD, катет AB лежит против угла 30°, следовательно, он равен половине гипотенузы BD (диагонали).

\( AB = \frac{1}{2} BD \)

\( BD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 18 = 36 \) см.

Диагонали прямоугольника равны, значит, AC = BD = 36 см.

Ответ: 36 см.