3. Можно ли обойти все рёбра октаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

Пошаговое решение:

1. Анализ графа: Октаэдр представляет собой многогранник, рёбра и вершины которого можно рассматривать как граф.
2. Степень вершин: В октаэдре 6 вершин. Каждая вершина соединена с 4 рёбрами, то есть все вершины имеют степень 4 (четное число).
3. Теорема Эйлера: Согласно теореме Эйлера, граф имеет Эйлеров цикл (обход всех рёбер с возвращением в исходную вершину), если все его вершины имеют четную степень. Если граф имеет ровно две вершины с нечетной степенью, то он имеет Эйлеров путь (обход всех рёбер без возвращения в исходную вершину).
4. Вывод: Так как все вершины октаэдра имеют четную степень (равную 4), по нему можно пройти ровно один раз по каждому ребру, причём можно вернуться в исходную точку (Эйлеров цикл).

Ответ: Да