3. На диафрагму с круглым отверстием диаметром d = 4 мм падает нормально параллельный пучок лучей монохроматического света (λ = 0,5 мкм). Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии b = 1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии? Темное или светлое пятно получится в центре дифракционной картины, если в месте наблюдений поместить экран?

Решение:

Для определения количества зон Френеля, укладывающихся в отверстии, нужно найти радиус k-ой зоны Френеля \( r_k \) и сравнить его с радиусом отверстия \( R \).

Формула для радиуса k-ой зоны Френеля:

\( r_k^2 = k \frac{\lambda b}{1} \)

где \( k \) — номер зоны, \( \lambda \) — длина волны, \( b \) — расстояние от диафрагмы до точки наблюдения.

В данном случае:

• Диаметр отверстия \( D = 4 \text{ мм} \), значит радиус отверстия \( R = D/2 = 2 \text{ мм} = 2 \times 10^{-3} \text{ м} \).
• Длина волны \( \lambda = 0.5 \text{ мкм} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ м} \).
• Расстояние до точки наблюдения \( b = 1 \text{ м} \).

Чтобы найти, сколько зон Френеля укладывается в отверстии, нужно найти максимальное \( k \), для которого \( r_k ≤ R \).

\( R^2 = k_{max} \frac{\lambda b}{1} \)

\( k_{max} = \frac{R^2}{\lambda b} \)

Подставим значения:

\( k_{max} = \frac{(2 \times 10^{-3} \text{ м})^2}{(0.5 \times 10^{-6} \text{ м}) \times (1 \text{ м})} = \frac{4 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{4}{0.5} = 8 \)

Таким образом, в отверстии укладывается 8 зон Френеля. \( k_{max} = 8 \).

Для определения того, будет ли пятно в центре светлым или темным, нужно определить, является ли число зон \( k_{max} \) четным или нечетным.

Если число зон четное (как в данном случае, \( k_{max}=8 \)), то амплитуды от соседних зон компенсируют друг друга, и в центре будет темное пятно.

Если число зон нечетное, то в центре будет светлое пятно.

Ответ: В отверстии укладывается 8 зон Френеля. В центре дифракционной картины получится темное пятно.