3. На диагонали MP прямоугольника MNPQ отложены равные отрезки AN и PB. Докажите, что ANBQ — параллелограмм.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку их пересечения через O. Тогда OM = OP и ON = OQ.

Точки M, A, B, P лежат на одной диагонали MP. Из условия AN = PB. Поскольку отрезки AN и PB — части диагонали, равенство этих отрезков означает, что их середины совпадают с O; следовательно, точка A симметрична точке B относительно O. Также точки N и Q симметричны относительно O, поскольку O — середина NQ.

Значит, в четырёхугольнике ANBQ диагонали AB и NQ пересекаются и делятся точкой O пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, этот четырёхугольник является параллелограммом.

Доказано: ANBQ — параллелограмм.