3. На диагонали MP прямоугольника MNPQ отложены равные отрезки MA и PB. Докажите: а) равенство треугольников NBP и MAQ; б) что ANBQ — параллелограмм.

а) В прямоугольнике противоположные стороны равны: \(NP=MQ\). По условию \(PB=MA\). Диагонали прямоугольника равны, поэтому \(MP=NQ\). Так как точки A и B лежат на MP, из равенства \(MA=PB\) следует, что середина AB совпадает с серединой MP. Середина MP также является серединой NQ, следовательно, отрезки, соединяющие соответствующие концы этих диагоналей, дают \(NB=AQ\). Значит, \(\triangle NBP=\triangle MAQ\) по трём сторонам.

б) Диагонали четырёхугольника ANBQ — это AB и NQ. Как установлено выше, они имеют общую середину. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Следовательно, \(ANBQ\) — параллелограмм.