3. На диагонали MT прямоугольника KMPT отложены равные отрезки MA и TB. Докажите, что: а) треугольники KMA и PTB равны; б) четырёхугольник KAPB является параллелограммом.

Так как A и B лежат на диагонали MT, лучи MA и TB направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

1. В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому KM = PT. По условию MA = TB. Углы KMA и PTB равны: стороны MK и TP параллельны, а MA и TB лежат на одной прямой. Следовательно, треугольники KMA и PTB равны по двум сторонам и углу между ними.

2. Из равенства треугольников следует, что KA = PB. Кроме того, ∠KAM = ∠PBT. Поскольку AM и BT лежат на одной прямой, равенство этих углов означает, что KA ∥ PB.

   В четырёхугольнике KAPB одна пара противоположных сторон, KA и PB, равна и параллельна. Значит, KAPB — параллелограмм.