3. На доске написаны в строку 2005 целых чисел. Докажите, что одно из них можно стереть, чтобы сумма оставшихся стала чётной. Верно ли это утверждение для 2006 чисел?

Обозначим сумму всех чисел через \(S\). Чтобы после удаления числа \(a\) сумма стала чётной, нужно, чтобы \(S-a\) было чётным. Это происходит, когда \(a\) и \(S\) одной чётности.

Для 2005 чисел такое число обязательно найдётся: если \(S\) нечётно, нечётных слагаемых нечётное количество, значит, среди них есть хотя бы одно; если \(S\) чётно, то чётных чисел либо хотя бы одно, либо все числа нечётные. Во втором случае их нечётное количество дало бы нечётную сумму, что противоречит условию \(S\) чётно. Следовательно, можно удалить число той же чётности, что и сумма.

Для 2006 чисел утверждение неверно: если все числа равны 1, их сумма чётна, а после удаления любого числа остаётся сумма 2005, которая нечётна.

Ответ: для 2005 чисел утверждение верно, для 2006 — неверно.