3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечены точки А, В и С. Найдите градусную меру угла АВС.

Решение:

Разместим точки на координатной плоскости, исходя из рисунка:

• Точка А: (1, 3)
• Точка В: (0, 1)
• Точка С: (3, 1)

Найдем векторы \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \).

\( \vec{BA} = (1-0, 3-1) = (1, 2) \)

\( \vec{BC} = (3-0, 1-1) = (3, 0) \)

Используем формулу для нахождения угла между векторами:

\( \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} \)

Скалярное произведение \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1 \cdot 3) + (2 \cdot 0) = 3 \).

Длина вектора \( \vec{BA} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \).

Длина вектора \( \vec{BC} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \).

\( \cos(\angle ABC) = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{5}} \).

\( \angle ABC = \arccos{\left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)} \approx 63.4^{\circ} \).

Ответ: приблизительно 63.4.