3. На приёме в посольстве встретились две делегации, в каждой из которых было несколько дипломатов (больше одного). Каждый дипломат одной делегации пожал руку каждому дипломату второй делегации. Сколько было членов в каждой делегации, если всего произошло 210 рукопожатий? Напишите все возможные варианты.

Пусть в делегациях было \(m\) и \(n\) дипломатов. Каждый из первых \(m\) дипломатов пожал руку всем \(n\) дипломатам второй делегации, поэтому \(mn=210\). Нужно найти пары целых множителей, каждый из которых больше 1.

Разложим число на простые множители: \(210=2\cdot3\cdot5\cdot7\). Перебирая делители, получаем пары без учёта перестановки: \((2,105), (3,70), (5,42), (6,35), (7,30), (10,21), (14,15)\). В каждой паре произведение равно 210.

Ответ: возможны составы делегаций (2 и 105), (3 и 70), (5 и 42), (6 и 35), (7 и 30), (10 и 21), (14 и 15) человек; в каждой паре делегации можно поменять местами.