3. На рис. 23 ABCD — прямоугольник, AM = MD. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 42 см.

Обозначим высоту прямоугольника через \(h\), а длину основания через \(a\). Так как \(AM=MD\), точка M — середина стороны AD.

По условию \(BM\perp CM\). В прямоугольных треугольниках с катетами \(h\) и \(\dfrac a2\):

\(BM^2=h^2+\left(\dfrac a2\right)^2\),

\(CM^2=h^2+\left(\dfrac a2\right)^2\).

Условие перпендикулярности даёт равенство горизонтальной и вертикальной составляющих, поэтому \(\dfrac a2=h\), то есть \(a=2h\).

Используем периметр:

\(2(a+h)=42\).

Подставим \(a=2h\):

\(2(2h+h)=42\),

\(6h=42\),

\(h=7\text{ см}\), \(a=14\text{ см}\).

Ответ: стороны прямоугольника равны 7 см и 14 см.