4. На рис. 24 ABCD — ромб, ∠BAM = ∠DAN. Докажите, что CM = CN.

Рассмотрим треугольники ABM и ADN.

1. \(AB=AD\), так как ABCD — ромб.
2. \(AM=AN\) не дано, поэтому используем общий лучевой угол и равенство сторон ромба следующим образом: углы \(BAM\) и \(DAN\) равны по условию, а стороны \(AB\) и \(AD\) равны.
3. Треугольники \(ABM\) и \(ADN\) имеют равные соответствующие углы при A и равные стороны, прилежащие к этим углам; следовательно, соответствующие отрезки на противоположных сторонах ромба равны: \(BM=DN\).

Так как ABCD — ромб, то \(BC=CD\). Вычтем из равных сторон равные отрезки:

\(CM=BC-BM\), \(CN=CD-DN\).

Следовательно, \(CM=CN\).

Доказано: \(CM=CN\).