3. На рис. 38 KLMN — прямоугольник, ∠C = 90°, AC = BC, KL:LM = 2:5, P_KLMN = 56 см. Найдите AB.

Пусть KL = 2t, LM = 5t. Из периметра прямоугольника: 2(KL + LM) = 56, поэтому KL + LM = 28 и 7t = 28. Следовательно, KL = 8 см, LM = 20 см.

Треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный, а AB — его гипотенуза. Высота из C к AB равна половине гипотенузы: h = AB/2. Сторона KL прямоугольника перпендикулярна AB и равна расстоянию между параллельными сторонами LM и KN, то есть h − 8. Поскольку KN = LM = 20 см, из подобия треугольников с основаниями на AB и KN следует, что длина KN равна AB − 2 · KL. Значит, 20 = AB − 16, откуда AB = 36 см.

Ответ: AB = 36 см.