3. На рисунке BN — биссектриса угла МВС. а) Найдите ∠NBC, если он на 15° меньше угла ABM; б) Постройте угол ABK, вертикальный с углом MBC, и найдите его градусную меру.

Решение:

а) Нахождение ∠NBC:

1. По условию BN — биссектриса угла MBC, значит ∠NBC = ∠NBM.
2. Также, ∠MBC = ∠NBC + ∠NBM = 2 * ∠NBC.
3. Условие: ∠NBC = ∠ABM - 15°.
4. Из рисунка видно, что ∠ABM + ∠MBC = ∠ABC.
5. Если предположить, что A, B, C лежат на одной прямой, то ∠ABC = 180°.
6. Тогда ∠ABM + ∠MBC = 180°.
7. Подставим ∠MBC = 2 * ∠NBC: ∠ABM + 2 * ∠NBC = 180°.
8. Подставим ∠NBC = ∠ABM - 15°: ∠ABM + 2 * (∠ABM - 15°) = 180°.
9. ∠ABM + 2 * ∠ABM - 30° = 180°.
10. 3 * ∠ABM = 210°.
11. ∠ABM = 210° / 3 = 70°.
12. Теперь найдем ∠NBC: ∠NBC = ∠ABM - 15° = 70° - 15° = 55°.
13. Проверим: ∠MBC = 2 * ∠NBC = 2 * 55° = 110°. ∠ABM + ∠MBC = 70° + 110° = 180°.

б) Построение угла ABK и нахождение его меры:

1. Угол ABK вертикален с углом MBC.
2. Вертикальные углы равны.
3. Следовательно, ∠ABK = ∠MBC.
4. Из предыдущего пункта мы нашли, что ∠MBC = 110°.
5. Значит, ∠ABK = 110°.

Ответ: а) 55°; б) 110°.