№ 3. На рисунке четырёхугольник ABCK с диагональю AC. Дано: BC = 18, AK = 18, ∠BAC = 25°, ∠BCA = 25°, ∠CAK = 25°, ∠AKC = 102°. Найти отмеченные вопросительными знаками углы.

В треугольнике ABC два угла равны 25°, поэтому третий угол:

\(\angle ABC=180^\circ-25^\circ-25^\circ=130^\circ\).

В треугольнике ACK известны углы при A и K, поэтому \(\angle ACK=180^\circ-25^\circ-102^\circ=53^\circ\).

Вычислим AC по теореме синусов в треугольнике ACK: \(AC=18\cdot\frac{\sin102^\circ}{\sin53^\circ}\approx22.1\). Но в треугольнике ABC сторона BC = 18 и угол BCA = 25°; если также ∠BAC = 25°, то противоположные этим равным углам стороны BC и AB должны быть равны, а длина AC, найденная из ACK, с этим условием треугольника ABC несовместима: при углах A = C = 25° сторона BC должна быть равна AB, и по теореме синусов AC должно быть \(18\cdot\frac{\sin130^\circ}{\sin25^\circ}\approx32.8\), а не 22.1.

Следовательно, прочитанные подписи рисунка противоречивы. Угол при B в ABC определяется как 130°, а угол ACK — как 53°, но длина AC и остальные данные не согласуются. Проверьте, пожалуйста, числа и расположение углов на рисунке.

Ответ: ∠ABC = 130°, ∠ACK = 53°; исходные данные рисунка противоречивы.