№ 3 На рисунке прямая ВС касается окружности с центром О в точке В. Найдите угол АОВ, если угол АВС равен 63°

Решение:

Так как прямая ВС касается окружности в точке В, то радиус ОВ перпендикулярен касательной ВС. Следовательно, \( \angle OBC = 90^{\circ} \).

Угол ABC дан по условию и равен 63°.

Угол OBA является частью угла OBC, поэтому:

\( \angle OBA = \angle OBC - \angle ABC \)

\( \angle OBA = 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} \)

Рассмотрим треугольник AOB. OA и OB являются радиусами окружности, поэтому \( OA = OB \). Треугольник AOB — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит \( \angle OAB = \angle OBA = 27^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол АОВ:

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) \)

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (27^{\circ} + 27^{\circ}) \)

\( \angle AOB = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \)

Ответ: 126°.