№ 3. На рисунке трапеция ABCD, диагональ AC, ∠CAD = 40°. Одинаковые засечки отмечены на сторонах AB, BC и CD. Найти ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

По засечкам AB = BC = CD. Поскольку ABCD — трапеция с основаниями BC и AD, а боковые стороны AB и CD равны, она равнобедренная. Обозначим ∠A = ∠D = α; тогда ∠B = ∠C = 180° − α.

Пусть длина каждой отмеченной стороны равна l. Из равенства боковых сторон горизонтальные выступы у основания равны. Так как BC = l, нижнее основание AD равно l + 2l cos α. Горизонтальная проекция диагонали AC равна половине суммы оснований, то есть l(1 + cos α), а высота трапеции равна l sin α.

В прямоугольном треугольнике, образованном проекциями AC, имеем tan 40° = sin α / (1 + cos α) = tan(α / 2). Следовательно, α / 2 = 40° и α = 80°.

Тогда ∠A = ∠D = 80°, а смежные с ними углы при боковых сторонах равны 180° − 80° = 100°.

Ответ: ∠A = 80°, ∠B = 100°, ∠C = 100°, ∠D = 80°.