3. На столе лежат в ряд пять монет: средняя — вверх орлом, а остальные — вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний положить монеты так, чтобы крайние слева и справа лежали орлом вверх, а остальные — решкой?

Обозначим орла числом 1, решку — 0. Начальное положение: 0, 0, 1, 0, 0. Переворот трёх соседних монет меняет состояние каждой из них, то есть прибавляет 1 по модулю 2.

Чтобы крайние монеты стали орлами, необходимо изменить первую и пятую позиции. Но перевернуть первую монету можно только ходом, начинающимся с первой позиции: он также меняет вторую и третью. Чтобы изменить пятую, нужен ход, заканчивающийся на пятой: он также меняет третью и четвёртую. Эти два хода оставят без изменения среднюю монету (её перевернут дважды), но изменят вторую и четвёртую монеты.

Целевая позиция — 1, 0, 1, 0, 1, поэтому средняя монета должна остаться орлом, а вторая и четвёртая — решками. Однако исходная средняя монета уже орёл, и два необходимых крайних хода не дают нужного изменения остальных позиций. Иными словами, если обозначить через x₁, x₂, x₃ число по модулю 2 выполнений переворотов позиций 1–3, 2–4 и 3–5, из крайних позиций следуют x₁=1 и x₃=1; из второй позиции требуется x₂=0, а из третьей — x₁+x₂+x₃=0, что даёт 0=0, но из четвёртой требуется x₂+x₃=0, то есть 1=0 — противоречие.

Ответ: нет, невозможно.