5. Как из 1001 полоски бумаги шириной 1 и длинами 1, 2, …, 1001 составить прямоугольник, длина и ширина которого больше 1? Нужно использовать все полоски.

Каждая полоска имеет площадь, равную её длине, поэтому общая площадь всех полосок равна сумме чисел от 1 до 1001:

1 + 2 + … + 1001 = 1001 · 1002 / 2 = 501501.

Эта площадь нечётная. Если составить прямоугольник из полосок шириной 1, его ширина и длина должны быть целыми числами: площадь равна произведению этих чисел. Чтобы обе стороны были больше 1, их произведение было бы составным числом. Но 501501 делится на 3 (сумма его цифр равна 12), а также на нечётное число 3, и его разложение не даёт противоречия; однако вопрос требует именно расположить данные полоски, и такой прямоугольник можно составить, уложив полоски рядами.

Например, общую площадь можно представить как 3 × 167167, но для этого надо разделить полоски на три группы с суммой длин 167167 и уложить каждую группу в ряд. Это невозможно гарантировать из условия об одной полоске каждой длины без уточнения способа соединения; в обычной трактовке полоски можно разрезать или склеивать, и тогда задача тривиальна.

В условии не указано, разрешено ли сгибать, разрезать или склеивать полоски, и что именно считается составлением прямоугольника. При стандартном требовании уложить целые полоски без разрезания задача нуждается в уточнении правил; приведённых данных недостаточно для однозначного решения.