3. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если известно, что CD = 8 см, CM = 4 см.

а) Так как AB = BM, треугольник ABM равнобедренный с основанием AM, поэтому ∠BAM = ∠AMB.

Точки B, M, C лежат на одной прямой, следовательно, углы ∠AMB и ∠AMC — смежные. Кроме того, AD ∥ BC, поэтому ∠MAD = ∠AMC как накрест лежащие углы при секущей AM.

Тогда ∠BAM = ∠AMB = 180° − ∠AMC = 180° − ∠MAD. Поскольку ∠BAM и ∠MAD вместе составляют ∠BAD, отсюда ∠BAM = ∠MAD. Значит, AM — биссектриса угла BAD.

б) В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD = 8 см. По условию BM = AB, значит, BM = 8 см. Тогда BC = BM + CM = 8 + 4 = 12 см, и AD = BC = 12 см.

Периметр: P = 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: а) AM — биссектриса угла BAD; б) 40 см.