3. На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка P так, что CP = PD; O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BP}\) и \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

Обозначим \(\overrightarrow{BA}=\vec u\), \(\overrightarrow{BC}=\vec v\). Введём начало координат в точке B. Тогда \(A=\vec u\), \(C=\vec v\), а, поскольку ABCD — квадрат, \(D=\vec u+\vec v\).

1. O — середина диагонали AC, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\dfrac{A+C}{2}=\dfrac12\vec u+\dfrac12\vec v\).
2. P — середина CD. Следовательно, \(P=\dfrac{C+D}{2}=\dfrac12\vec u+\vec v\), откуда \(\overrightarrow{BP}=\dfrac12\vec u+\vec v\).
3. \(\overrightarrow{PA}=A-P=\vec u-(\dfrac12\vec u+\vec v)=\dfrac12\vec u-\vec v\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\dfrac12\overrightarrow{BA}+\dfrac12\overrightarrow{BC}\); \(\overrightarrow{BP}=\dfrac12\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\); \(\overrightarrow{PA}=\dfrac12\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\).